Elo 공식의 수학적 원리

Elo 시스템은 설명한 건 많지만 핵심이 되는 Elo 공식

두 선수의 승률을 예상하는 공식이다. 그냥 저 공식을 사용할뿐

저 공식에 대해 잘 설명된 곳은 없는 것 같다.

Elo 공식은 하늘에서 뚝 떨어진 공식이 아니다.

간단하고 상식적인 원리를 바탕으로 한다. 

3자 비교법이란 논리다. 

A 보다 B 가 잘하고 B 보단 C가 잘해!!
당연히 A 보단 C 가 잘할꺼야!
(A<B , B<C  A<B<C  따라서 A<C)
흔히 사용하는 논리다.  이게 바로 3자 비교법이다.

이 논리를 약간 렙업해 보면

A,C 둘다 B 보다 잘하긴 하지만
A는 압도적으로 잘하고 C는 약간 잘해!!
(A>>>>B , C>B  A>>C>B , 따라서 A>C)

숫자를 이용해 정교하게 다듬어 보면

A,B 두 선수의 전적이 5:3 이고 (A:B = 5:3)
B,C 선수의 전적이 3:4 라면 (B:C = 3:4)
마침 B선수의 전적이 3으로 같으니 

A:B:C = 5:3:4 , 따라서 A:C = 5:4

물론 실제로는 숫자가 잘 맞아 떨어지지 않는다.

A:B = 7:4
B:C = 3:8 

이럴땐 비례식의 특징을 이용해 B를 1로 만들면 된다.

A:B = (7/4):1
B:C = 1:(8/3)

A:B:C = (7/4):1:(8/3)

따라서 A:C = (7/4):(8/3)

보통 1:2 를 1/2 = 0.5 로 표현하는 것 처럼

A:C = (7/4):(8/3)
A/C= (7/4) / (8/3) = 21/32 = 0.65625 

A가 B에게 평균 3승 2패 , B가 C에게 5승 6패 라고 한다면
A와 C가 경기한다면 몇승 몇패 하겠는가?
(한국어 위키,엘로 평점 시스템 항목에 나온 예제다.)

A:B = 3:2 = (3/2):1
B:C = 5:6 = 1:(6/5)

A:B:C= (3/2):1:(6/5)

A:C = (3/2):(6/5)= 15:12 = 5:4
A와 C가 경기한다면 5승 4패가 예상된다.

위키의 나온 부분이 바로 이 설명이다.

바로 이 논리가 바로 Elo의 공식의 핵심이다.


값의 의미

뭔가 숫자가 나오긴 했는데 이 숫자가 뜻하는 것은 뭘까?

A:B = 3:2
A/B = 1.5 

A가 B 에게 1.5배 승리를 많이 거둔다는 뜻이다.
개인적으로는 이 값을 실력지수라고 부르고 있다.
A가 B 보다 몇배 잘했다. 이렇게 읽으면 쉽다.

A/B = 1 이면 1배 잘했다. 즉 실력이 똑같다는 뜻이다.
A/B = 3 이면 3배 잘했다. 

하지만 1보다 작다면? 앞에 나온 A/C = 0.65625 는?
A가 C 보다 못했다는 뜻이다.


%와의 관계

실제로는 %를 많이 사용한다.

A:B = 3:2
A가 이길 확률은 ? 

A/(A+B) = 3/5 = 60%

기호로는 ( X(AB) ) 쓴다.
X(AB)= A/(A+B) = 3/5 = 60%

물론 자료는 친절하지 않다.

A/B = 1.5 
3:2라는 값이 주어지는게 아니다.
분모 분자의 특성을 생각해 보면

1.5 = 1.5 / 1 이다.

따라서 A= 1.5 , B = 1 
X(AB)= A/(A+B) = 1.5 / 2.5 = 60%

앞에 소개한

A/B = 1 (같은 실력)
A/B = 1/1
X(AB) = A/(A+B) = 1/2 = 50%

A/B = 3 (A가 3배 잘함)
X(AB) = A/(A+B) = 3/4 = 75%

A/C = 0.65625  (C가 더 잘함)
X(AC) = 0.65625 / 1.65625 = 39.62% 
당연히 A가 이길 확률은 50% 보다 작은 값이 나온다.

공식화 해 보면

A의 실력지수를 S라고 하면  A가 B를 이길 확률은?
A/B = S 
A/B = S/1 

X(AB) = A/(A+B) = S/(S+1)

간단히 하면 실력지수 S 일때 확률 X는
X = S/(S+1)
실력지수->% 변환을 먼저 소개했지만 

실은 반대 상황이 많다. 자료는 % 일때가 많다. 
그런데 3자 비교법을 쓰려면 % 자료를 실력지수로 고처야 한다.

실력지수 -> % 공식을 다시 살펴 보자

X = S/(S+1) 

S로 정리하면 

S=X/(1-X) 

X 값이 80% 라면 실력값은?
S = 0.8/(1-0.8) = 0.8/0.2 = 4

40%라면? 
S= 0.4/0.6 = 0.6667 이다.

확률론에서 (1-X) 는 여확률이고 패배 확률을 뜻한다.
보통 X' 라고 쓴다. 

따라서 % 자료가 주어질때 실력지수는

S = X/X' = 승리확률/ 패배확률 

임의의 선수와 대결했을때 A 선수의 승률은 90% 고 B 선수의 승률은 80% 라면 

두 선수가 경기했을때 A 선수의 승률은 얼마일까?

A 선수의 실력 지수는 90%/10% = 9
B 선수의 실력 지수는 80%/20% = 4

맨처음 소개한 3자 비교법에서 두 선수를 연결해 주는 것을 B가 했다.
여기서는 임의의 선수라는 개념이 대신한다. 
그걸로 3자 비교법을 쓰는 것이다.

A:임의의 선수 = 9:1
B:임의의 선수 = 4:1

A:임의의 선수:B = 9:1:4
A:B = 9/4

A/B = 2.25 
X(AB) = 2.25/3.25 = 69.23 %

A 선수가 B 선수를 이길 확률은 69.23% 다.

3자 비교법이라는 걸 설명하기 위해 중간 과정을 보여주었지만 

실제로는 실력지수 끼리 나누기만 하면 된다. 

9/4 하면 A선수 입장에서 실력값이 나오고 
반대로 4/9 하면 B 선수 입장에서 실력값이 나온다.

두 선수간의 실력값은 나누기가 성립하고 공식으로 쓴다면

S(AB)=S(A)/S(B)  
A선수가 B 선수 보다 몇배 잘하는가?

마찬가지로 
S(BA)=S(B)/S(A)

여러 공식이 나오긴 했지만 
지금 쓰고 있는 공식이나 계산은

A 보다 B 가 잘하고 B 보단 C가 잘해!!
당연히 A 보단 C 가 잘할꺼야!